Черкасова Т.О.
На відміну від багатьох інших дисциплін математика має предметом свого учення не речі і явища реального світу, а абстраговані від них кількісні стосунки і просторові форми.
З давніх часів математика розглядалася як вища мудрість. Так, старогрецький вчений Платон вважав математику необхідною для більшості людей. Він вказував на "... величезні розвиваючі можливості математики; ... вона будить розум, додає йому гнучкість, жвавість і пам'ятку ..."
В останній час стало проводиться багато різних математичних олімпіад (очних або заочних), математичних конкурсів, які є масовими і популярними як серед учнів, так і серед вчителів. Найбільших успіхів в таких конкурсах добиваються учні з нестандартними здібностями і творчим мисленням.
Для участі в математичних конкурсах, математичних олімпіадах учні повинні мати відповідні знання, бути психологічно і фізично підготовленими, повинні вміти правильно розподіляти час на виконання завдань, долати можливі труднощі. Разом з тим, таки конкурси мають велике виховне значення. Вони привчають школярів до організованості, виробляють у них самостійність і гнучкість мислення, зміцнюють віру в свої сили, виховують наполегливість і волю до перемоги.
Здавалося б, що для учасників олімпіад і математичних конкурсів цілком достатньо тих знань з елементарної математики, яких вони набули в школі. Проте, як показує практика, багато навіть кращих учнів розгублюються під час олімпіад і конкурсів і не можуть розв’язати запропонованих задач.
Виділимо основні форми підготовки учнів до олімпіад і математичних конкурсів:
1. Урок. В класі одночасно навчаються всі учні: і ті, кому важче оволодіти програмним матеріалом, і ті, хто легко засвоює його. Тому на уроці найчастіше розглядають одну – дві типові задачі, спосіб розв’язування яких учні повинні зрозуміти і запам’ятати. Розв’язуючи аналогічні задачі, учні відтворюють лише те, що запам’ятали. Окремі з них, які мають добру пам'ять і володіють основними прийомами мислення, в процесі такого навчання без особливих зусиль засвоюють матеріал. Вони без будь-якої додаткової самостійної роботи деякий час можуть вважатись навіть кращими учнями класу. Проте, якщо ввести на уроках щось нове, запропонувати задачі, які чимось відрізняються від попередніх, такі учні стають безпорадними. І це не дивно – вони засвоїли не способи міркувань, які ведуть до знаходження відповідей, а типові прийоми розв’язування деяких задач. Тому завжди можна знайти місце на уроці, щоб разом з загальними задачами вирішувати і задачу розвитку обдарованого учня, застосовуючи нестандартні прийоми розв’язування деяких математичних задач. Також на уроці треба частіше ставити і вирішувати проблеми. Вчитель повинен вчити різним підходам до несподіваних по формулюванню задач, застосовувати евристичні методи. Корисно включати задачі типу: придумай задачу до такого розділу; склади задачу, аналогічну розглянутою в класі; олімпіадні і конкурсні задачі минулих років і т.п.
Але все таки робота з сильними учнями по математиці - робота "штучна". Тому не обійтися і без індивідуальної роботи поза уроку.
«Щоб дати учню іскорку знань, учителю треба увібрати ціле море світла», – сказав видатний педагог В.О.Сухомлинський.
2. Гуртки (факультативи, спецкурси) є основною формою роботи з самими здатними учнями по математиці. Тільки тут можна розглянути особливі типи задач, які іноді називають "олімпіадними". Таки задачі спрямовані на то, щоб виявляти і залучати до поглиблених занять улюбленим предметом талановитих школярів, щоб з них готувати гідне поповнення майбутніх творчих працівників. На математичних гуртках пропонуються задачі, мета яких – виявляти і розвивати рівень математичних здібностей, рівень їх логічної культури, умінь знаходження способу розв’язування нестандартних задач.
Формувати ці вміння і навички в юних математиків краще розпочинати якнайраніше. Давно відомо, що чим здібніша людина, тим важчі завдання їй треба давати. Здібності розвиваються внаслідок подолання труднощів. «Доводи, до яких людина додумується сама, звичайно переконують її більше, ніж ті, які прийшли в голову іншим.» (Б. Паскаль)
Дана збірка задач рекомендована учням 5 – 8 класів і вчителям, які працюють з такими учнями, тому, що саме в цьому віці діти найдопитливіші, бажають брати участь в різних змаганнях. Частина цих завдань може бути застосована як завдання шкільних олімпіад. Деякі із завдань 5 класу можуть бути використані в 6 класі, з 6 класу - в 7 і так далі.
1. ЗАДАЧІ НА ВІДСОТКИ
«Часто говорять, що цифри управляють світом; принаймні
немає сумніву в тому, що цифри показують, як він управляється.»
В. Гете, (1749 – 1832)
1.1 (6 - 7 кл) Скільки води треба додати до 600 г рідини, що містить 40 % солі, щоб вийшов 12 % розчин цієї солі?
1.2 (6 – 7 кл) Ціну на деякий товар знизили спочатку на 10 %, потім на 20 % і, нарешті, на 25 %. На скільки відсотків змінилася ціна порівняно з початковою?
1.3 (6 – 7 кл) Ціни знижені на 20 %. На скільки відсотків більше можна купити товарів на таку ж зарплату?
1.4 (6 – 7 кл) Андрій купив дві книги. Перша з них на 50 % дорожче другої. На скільки відсотків друга книга дешевше першої?
1.5 (6 – 7 кл) Вологість повітря до полудня в порівнянні з ранковою знизилася на 12 %, а потім до вечора ще на 5 % в порівнянні з полуднем. Скільки відсотків від ранкової вологості повітря складає вологість повітря у вечорі і на скільки відсотків вона знизилася?
1.6 (6 – 7 кл) То та це та половина того та цього - скільки це буде відсотків від трьох чвертей того та цього?
1.7 (6 – 7 кл) Дмитрик, Віталій та Михайлик збирали грибі. Віталій зібрав грибів на 20 % більше ніж Дмитрик, але на 20 % менше ніж Михайлик. На скільки відсотків більше ніж Дмитрик зібрав грибів Михайлик?
1.8 (6 -7 кл) Букіністичний магазин купив книгу на 40 % дешевше від ціни, вказаної на обкладинці, а продав на 25 % дешевше від цієї ціни. Скільки відсотків прибутку отримав магазин?
1.9 (6 – 7 кл) У Андрійка у пляшці було на 10 % більше «Фанти», ніж у Михайлика. Андрійко випив зі своєї пляшки 11 % вмісту, а Михайлик зі своєї – 2 % вмісту. У кого з хлопців залишилося більше «Фанти»?
1.10 (6 – 7 кл) Декілька учнів пішли з ліцею і декілька прийшли. У результаті кількість учнів зменшилась на 10 %, а частина хлопців збільшилась з 50 % до 55 %. Збільшилась чи зменшилась кількість хлопців?
1.11 (6 – 7 кл) Кількість розумних людей на 40 % більша від кількості красивих, а 25 % розумних мають привабливу зовнішність. Який відсоток розумних серед красивих?
1.12 (6 – 7 кл) Довжину кожної сторони квадрата збільшили на 20 %. На скільки відсотків збільшилась площа квадрата?
1.13 (6 – 7 кл) За перший день бригада скосила 15 га, а за другий день – 20 % площі, що залишилася. Всього за 2 дні було скошено 36 % всіх лугів. Знайти площу всіх лугів.
1.14 (6 -7 кл) Бригада лісорубів рушила вирубати сосновий ліс, але екологи запротестували. Тоді бригадир заспокоїв екологів, сказавши їм: "У нашому лісі сосни складають 99% від всього лісу. Після вирубки лісу сосни складатимуть 98% всіх дерев." Яку частину лісу вирубає бригада?
1.15 (6 – 7 кл) М.В. Ломоносов витрачав один гріш на хліб і квас. Коли ціни виросли на 20 %, на той же гріш він набував півхліба і квас. Чи вистачить того гроша хоч би на квас, якщо ціни ще виростуть на 20 %?
1.16 (6 – 7 кл) Вогкість свіжоскошеної трави 60 %, сіна – 15 %. Скільки сіна вийде з однієї тонни свіжоскошеної трави?
1.17 (6 – 7 кл) Ціна картоплі на ринку в зв’язку з непогодою спочатку підвисилась на 20 %. Через деякій час ціна картоплі на ринку зменшилась на 20 %. Коли картопля коштувала дешевше: до підвищення або після зниження ціни і на скільки?
1.18 (6 – 7 кл) На кінцевій зупинці в трамвай сіли пасажири і половина їх зайняла місця для сидіння. Скільки чоловік сіли на кінцевій зупинці в трамвай, якщо після першої зупинки число пасажирів збільшилося на 8% і відомо, що трамвай вміщає не більше 70 чоловік?
1.19 (6 – 8 кл) Два учня – високий і маленький – вийшли одночасно з одного і того ж будинку в одну школу. У одного з них крок був на 20 % коротше, ніж у іншого, та зате він встигав за той же час робити на 20 % більше кроків, ніж інший. Хто з них раніше прийшов в школу?
1.20 (6 – 8 кл) Ціна вхідного квитка на стадіон була 1 грн. 80 коп. Після зниження вхідної плати кількість глядачів збільшилась на 50 %. А виручка на 25 %. Скільки став коштувати квиток?
1.21 (6 – 8 кл) Ціна вхідного квитка на стадіон складала 20 копійок. Після зниження вхідної платні число глядачів збільшилося на 25%, а виручка зросла на 12,5 %. Скільки став коштувати вхідний квиток після зниження ціни?
1.22 (7 кл) Свіжі гриби містять 90 % води, а сушені – 20 %. Скільки можна отримати сушених грибів з 40 кг свіжих?
1.23 (7 кл) Свіжі гриби містять 90 % води, а сушені – 20 %. Скільки потрібно свіжих грибів, щоб отримати 8 кг сушених грибів?
1.24 (7 кл) Морская вода містить 5 % солі (по вазі). Скільки кілограмів прісної води потрібно додати до 40 кг морської води, що б вміст солі в суміші складав 2 %?
1.25 (7 кл) Число а складає 80 % числа b, а число с складає 140 % числа b. Знайти числа а, b, с, якщо відоме, що с більше а на 72.
2. ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ
«У кожній природничий науці
поміщено стільки істини, скільки
в ній математики.»
І. Кант, (1724 – 1804)
2.1 (5 кл) У коробці лежать олівці: 7 червоних і 5 блакитних. В темноті беруть олівці. Скільки потрібно взяти олівців, щоб серед них було не менше двох червоних і не менше трьох блакитних ?
2.2 (5 кл) У ящику лежать кольорові олівці: 10 червоних, 8 синіх, 8 зелених, 4 жовтих. У темноті беремо з ящика олівці. Яке найменше число олівців треба узяти, щоб серед них свідомо
1) були не менше 4 олівців одного кольору?
2) був хоч би один олівець кожного кольору?
3) було не менше 6 синіх олівців?
2.3 (5 кл) У ящику лежать кульки: 5 червоних, 7 синіх, 1 зелений. Яку кількість кульок треба узяти, щоб серед них було 2 кульки однакового кольору?
2.4 (5 кл) В тридев’ятому царстві наймодніші жінки мають сукні, пошиті з тканини трьох різних кольорів: рукава – одного кольору, кокетка – другого, а спідниця – третього. До царя Гороха заморські торговці привезли шовки десяти різних кольорів. Скількома способами з цих шовків можна пошити сукню Царівні – Несміяні?
2.5 (5 кл) На нараду з'явилося 10 чоловік, і всі вони обмінялися рукостисканнями. Скільки було рукостискань?
2.6 (5 – 6 кл) З пошкодженої книги випала частина зшитих разом листів. Номер першої ї сторінки, що випала - 143. Номер останньою записаний тими ж цифрами, але в іншому порядку. Скільки сторінок випало з книги?
2.7 (5 – 6 кл) В темної коморі лежать черевики одного розмиру: 10 пар чорних і 10 пар коричневих. Знайти найменше число черевиків, яке потрібно взяти з комори, щоб серед них була б хоча одна пара (лівий і правий черевик) одного кольору (вважати, що в темноті неможна розлічити ні тільки колір черевиків, також і лівий від правого).
2.8 (5 – 6 кл) Я викидав гральний кубик (кубик, на сторонах якого написані числа від 1 до 6, причому, сума чисел на протилежних сторонах завжди дорівнює 7) 10 разів. Добуток всіх десяти чисел, що випали дорівнює 7776. Чому дорівнює найбільша можлива сума цих 10 номерів ?
2.9 (5 - 6 кл) Скільки чотиризначних чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, якщо числа мають бути непарними і цифри можуть повторюватися?
2.10 (5 – 6 кл) Шість подруг обмінялися фотографіями. Яке загальне число фотографій?
2.11 (5 – 6 кл) Скільки двозначних чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
2.12 (5 – 6 кл) Скільки тризначних кодів можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? (Враховуючи 000, 001.).
2.13 (5 – 6 кл) Хтось забув номер телефону, що складається з різних шести цифр, але пам'ятає, що перші цифри 47 - 8. Яке найбільше число проб треба зробити, щоб додзвонитися абонентові?
2.14 (5 – 6 кл) З цифр 1, 2, 3, 4, 5 складені всілякі п'ятизначні числа без повторення цифр. З'ясуєте, скільки серед цих чисел таких, які:
а) починаються цифрою 3;
б) не починаються з цифри 5;
в) починаються з 54;
г) не починаються з 543.
2.15 (5 – 6 кл) Скількома способами можна скласти прапор, що складається з трьох смуг різних кольорів, якщо є матеріал п'яти кольорів?
2.16 (5 – 6 кл) Скільки тризначних чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, якщо:
а) цифри не повторюються;
б) цифри можуть повторюватися;
в) числа повинні ділитися на 5 і всі цифри різні;
г) числа мають бути парними і цифри можуть повторюватися.
2.17 (5 – 6 кл) Скількома способами читач може вибрати три книги з п'яти?
2.18 (5 – 6 кл) На колі відмічено 8 різних точок.
а) Скільки хорд можна провести, сполучаючи будь-які дві з цих точок;
б) Скільки різних трикутників з вершинами в даних точках можна побудувати;
в) Скільки опуклих чотирикутників з вершинами в даних точках можна побудувати?
2.19 (5 – 6 кл) Комісія складається з голови, його заступника і ще п'яти чоловік. Скількома способами члени комісії можуть розподілити між собою обов'язки?
2.20 (5 – 6 кл) Кораблі, які заходять в порт, подають сигнали, піднімаючи на щоглі прапори. Скільки сигналів можна подати, якщо є прапори чотирьох кольорів і кожен сигнал подається:
а) двома прапорами;
б) трьома прапорами;
в) чотирма прапорами.
2. 21 (5 – 6 кл) Скільки двозначних чисел, в яких обидві цифри парні?
2.22 (5 – 6 кл) Скільки п'ятизначних чисел, в яких всі цифри непарні?
2.23 (5 – 6 кл) Скільки можна скласти різних телефонних номерів, в яких на першому місці цифра 5, на другому – 2 або 9, на третьому – будь-яка парна цифра, а на четвертому і п'ятому – будь-які цифри?
2.24 (6 -7 кл) Скільки існує двозначних чисел, у запису яких не використається цифра 1?
2.25 (7 кл) Вигадниця Мартишка, Осел, Козел та Клишоногий Мішка, затіявши грати квартет, використовували всі способи всістися на 4 пеньки на галявині, перш ніж повірили Солов'ю, який, як відомо, сказав їм: «То як сідати, сварки марні, бо з вас музики незугарні». "А ви, друзі, як не сідаєте, все в музиканти не годитеся!" Скільки разів їм довелося пересідати?
2.26 (7 кл) Сказав Кощій Івану - царенку : «Жити тобі до завтрашнього ранку. Ранком з’явишся перед мої очі, я загадаю три цифри а, b, с. Ти назвеш три числа: х, у, z. Вислухаю я тебе і скажу, чому дорівнює вираз ах + bу + сz. Тоді відгадай, які а, b, с я загадав. Не відгадаєш – голову зніму». Засмутився Іван – царенко, пішов думу думати. Треба йому допомогти. Як?
3. ПРИНЦИП ДІРІХЛЕ
«Чиста математика - це такий предмет,
де ми не знаємо, про що ми говоримо,
і не знаємо,чи істинне те, що ми говоримо.»
Б. Расел, (1872 – 1970)
У своїй доповіді «Про професію математика» академік А.М.Колмогоров підкреслив, що навіть довести, що у хвойному лісі з восьмисот тисяч ялинок, на кожній з яких не більше 500000 глиць, принаймні на двох ялинках число хвоїнок однакове, викликає труднощі у багатьох учнів випускних класів. Подібні задачі можна умовно назвати задачами на принцип Діріхле. Під цим принципом розуміють таке твердження: «Якщо n + 1 об’єктів розміщати на n місцях, то знайдеться принаймні два об’єкти, які розмістяться на одному і тому самому місці». Цій принцип допоміг німецькому математикові П.Діріхле (1805 – 1859) досягти значних успіхів у своїх дослідженнях з теорії чисел. У жартівливій формі принцип Діріхле часто формулюють так: «П’ять кроликів не можна посадити у чотири клітки так, щоб кожний з них сидів в окремій клітці».
3.1 (5 - 6 кл) У магазин привезли 25 ящиків з яблуками трьох сортів, причому в кожному ящику лежали яблука якогось одного сорту. Чи можна знайти 9 ящиків з яблуками одного сорту?
3.2 (6 кл) У школі 740 учнів. Довести, що принаймні троє з них в один і той самий день святкують свій день народження.
3.3 (6 кл)
Ні у кого з тисячі піратів
Не набереться тисячі дукатів.
Але навіть найменший пірат
Має все ж хоч один дукат.
Чи так можна сказати про тих піратів,
Що серед них - безвусих і вусатих,
Кудлатих, безбородих, бородатих –
Є двоє однаково багатих?
3.4 (6 кл) В школі 33 класі, 1150 учнів. Знайдеться лі клас, в яком менше, ніж 35 учнів?
3.5 (6 кл) В школі 30 класів і 1000 учнів. Довести, що є клас, в яком не менше, ніж 34 учня.
3.6 (6 кл) У класі 40 учнів. Чи знайдеться такий місяць в році, в якому відзначають свій день народження не менше ніж 4 учні цього класу?
3.7 (6 кл) У похід пішли 20 туристів. Самому старшому з них 36 років, а самому молодшому а) 16 років; б) 17 років. Чи вірно, що серед туристів є одногодки?
3.8 (6 кл) У школі вчаться 400 учнів. Доведіть, що хоч би двоє з них відзначають день народження в один і той же день.
3.9 (6 кл) Чи зможете ви розкласти 44 кульки на 9 купок так, щоб кількість кульок в різних купках була різною?
3.10 (6 кл) У класі 30 учнів. Під час контрольної роботи Петро зробив 13 помилок, а останні менше. Доведіть, що знайдуться три учні, що зробили однакове число помилок (мабуть, і нуль).
3.11 (6 кл) Кожна грань куба зафарбована в чорний або білий колір. Доведіть, що знайдуться дві грані із загальним ребром, які однаково зафарбовані.
3.12 (6 – 7 кл) У районі 15 шкіл. Доведіть, що як би не розподіляли між ними 90 комп’ютерів, то обов’язково знайдуться дві школи, яким припаде однакова кількість комп’ютерів (можливо й жодного).
3.13 (6 – 7 кл) На планеті Земля океан займає більше половини площі поверхні. Доведіть, що в світовому океані можна вказати дві діаметрально протилежні крапки.
3.14 (6 – 7 кл) У класі 33 учні, а сума їх віків складає 430 років. Чи справедливе твердження, що знайдуться в класі 20 учнів, сума віків яких більше 260?
3.15 (6 – 8 кл) У килимі розміром 4 х 4 метри міль проїла 15 дірок. Доведіть, що з нього можна вирізувати килимок розміром 1х1 метр, що не містить усередині себе дірок. (Дірки вважати точковими).
3.16 (6 – 8 кл) Петя хоче написати на дошці 55 різних двозначних чисел так, щоб серед них не було двох чисел, що дають в сумі 100. Чи зможе він це зробити?
3.17 (6 – 8 кл) Принцип Діріхле гласить: «Нехай в n клітках сидять не менше чим n + 1 кроликів. Тоді знайдеться клітка, в якій сидять не менше двох кроликів». Спробуйте застосувати цей принцип до наступного завдання:
«Шість школярів з'їли сім цукерок.
1) Доведіть, що один з них з'їв не менше двох цукерок.
2) Чи вірно, що хтось з'їв рівно дві цукерки?»
3.18 (6 – 8 кл) Заняття математичного кружка проходять в дев'яти аудиторіях. Серед інших, на ці заняття приходять 19 учнів з однієї і тієї ж школи.
1) Доведіть, що як їх не пересаджуй, хоч би в одній аудиторії виявиться не менше трьох таких школярів.
2) Чи вірно, що в якій-небудь аудиторії обов'язково виявиться рівно три таких школяра?
3.19 (7 – 8 кл) Довести, що серед шести цілих чисел знайдуться два, різниця яких ділиться на 5.
3.20 (7 – 8 кл) На співбесіду прийшли 65 школярів. Їм запропонували 3 контрольних роботи. За кожну контрольну ставилася одна з оцінок: 2, 3, 4 або 5. Чи вірно, що знайдуться два школярі, що отримали однакові оцінки на всіх контрольних?
3.21 (8 кл) Довести, що серед 101 цілого числа можна вибрати два, різниця яких ділиться на 100.
3.22 (8 кл) У змаганнях по вольній боротьбі брало участь 12 чоловік. Кожен учасник повинен був зустрітися з кожним з останніх по одному разу. Доведіть, що у будь-який момент змагання є два учасники, що провели однакове число сутичок.
3.23 (8 кл) Декілька футбольних команд проводять турнір в один круг. Довести, що у будь-який момент турніру знайдуться дві команди, що зіграли до цього моменту однакове число матчів.
3.24 ( 8 кл) За 5 років студент склав 31іспит, причому кожного року він складав більше іспитів, ніж у попередньому. На п’ятому курсі іспитів втричі більше, ніж на першому. Скільки іспитів на четвертому курсі?
ЛІТЕРАТУРА
1. И.Л. Бабинская. Задачи математических олимпиад.Издательство «Наука», М., 1975. 112 с.
2. А.В. Фарков. Математические олимпиады в школе. Издательство «Абрис-пресс», М., 2006. 176 с.
3. М.П. Маланюк, В.І. Лукавецький. Олімпіади юних математиків, видавництво «Радянська школа», К.,1977. 88 с.
4. И.С. Петраков. Математические олимпиады школьников. М., «Просвещение», 1982. 96 с
5. Математичні олімпіадні змагання школярів України: 2007 – 2008 та 2008 – 2009: За ред.. Б.В. Рубльова. – Львів: Каменяр, 2010. 549 с.
6. В.А. Ясінський. Задачі математичних олімпіад та методи їх розв’язування. Тернопіль. Навчальна книга – Богдан. 2005. 208 с.
Немає коментарів:
Дописати коментар