Методика математики. Діяльнісний підхід у навчанні математики

План лекції

1. Вихідні положення концепції навчальної діяльності.
2. Діяльнісний підхід до організації навчання математики.
3. Основні типи орієнтування в завданні.
4.Аналіз, синтез, порівняння, протиставлення, протиставлення, абстрагування, аналогія

Основна теза діяльнісного підходу в розвитку особистості полягає в тому, що людина виявляє властивості і зв'язки елементів реального світу лише в процесі і на основі різних видів діяльності (предметної, розумової, індивідуальної, колективної та інші.) навчальній діяльності, як і в будь-якій іншій, виділяються три компоненти: і) мотиви і навчальні задачі; 2) навчальні дії; 3) дії контролю и оцінювання знань школярів.
Навчальну діяльність не можна звести до жодного з цих компонентів. Повноцінна навчальна діяльність завжди є єдністю взаємопроникненням всіх цих трьох компонентів. В учнів треба виховувати певне ставлення до знань, навчальні мотиви. Завдяки цьому знання и уміння набудуть для них особливого смислу, стануть для них внутрішнім надбанням. Учень добре усвідомлює лише те, що виступає як прямий предмет і як мета його діяльності. Тому свідомість учіння передбачає, з одного боку, виконання школярами відповідних дій з навчальним матеріалом (а не просто його спостереження і прослуховування), а з іншого - перетворення матеріалу, що засвоюється, на пряму мету цих дій, тобто на розв'язування навчальних задач. Знання і уміння, у тому числі з математики, свідомо засвоюються лише тоді, коли учень з діяльності, що виконується, і результатів добуває інформацію про істотні властивості реального світу, зокрема про кількісні і просторові його форми.

Активно формування навчальної діяльності веде до суттєвих змін в особистості учня, в його свідомості, інтелектуальному і моральному розвитку, тобто сприяє становленню учня як суб'єкта діяльності, як індивідуальності.

Інтелектуальний розвиток відбувається у процесі засвоєння учнями знань і способів діяльності, орієнтирів діяльності. Відповідно до теорії поетапного формування розумових дій виділяють три основні типи орієнтування в завданні.

Перший тип орієнтування: учням дається зразок дії і називається ії результат, але без вказівок, як виконувати цю дію. Вчитель, який працює за цим типом орієнтовної| основи дії, сам, по суті, програмує багато помилок учнів у діях, що виконуються. Тому йому доводиться більше займатися переучуванням, доучуванням, ніж правильним навчанням.

Другий тип орієнтування: учню даються всі вказівки, як правильно виконувати дії або завдання, тобто дається готовий алгоритм дій. За дотримування вказівок алгоритму навчання відбувається без великої кількості помилок і швидше, ніж у разі першого типу орієнтування.

Третій тип орієнтування передбачає навчання не стільки способу дій у конкретній ситуації, скільки аналізу ситуації. Вчитель спеціально організовує з учнями поглиблений аналіз розв'язання задачі: вони самостійно складають узагальнену схему або алгоритм розв'язання. Учитель обирає типову опорну задачу або дві задачі з того чи іншого класу задач, розв'язувати які треба навчити учнів, і залучає їх до розв'язування конкретної задачі. Після цього аналізується процес розв'язування, розділяються істотне і неістотне в розв'язанні, в умові задачі, складається алгоритм або правило-орієнтир. Це дає змогу учням усвідомити особливості класу задач і принцип варіації неістотного. Останнє дає можливість перенести спосіб розв'язування в нові умови.

Наведемо приклад.

В 7 класі можна ознайомити учнів з методом від супротивного під час доведення теорем і розв'язування задач на доведення на прикладі розв'язування однієї-двох задач (або задачі і теореми). Під керівництвом учителя учні колективно виділяють суттєві спільні етапи доведення. Формулюється правило-орієнтир методу: щоб довести твердження методом від супротивного, слід:
1) припустити супротивне тому, що треба довести;
2) скориставшись припущенням, відомими аксіомами і доведеними раніше твердженнями, міркуваннями дійти висновку, який суперечить або умові твердження, що доводиться, або відомим аксіомам, або доведеному раніше твердженню, або припущенню;
3) зробити висновок, що припущення - неправильне, а правильно те, що треба довести.

Відтак дається орієнтир можливого використання методу: неможливість чого-небудь, єдиність чого-небудь в математиці завжди доводиться методом від супротивного. Цим методом інколи доводять обернені твердження.

Відповідно до діяльнісного підходу етапи засвоєння знань розглядаються разом з етапами засвоєння діяльності. Знання із самого початку включаються в структуру дій. Якість знань у цьому разі визначається їхньою адекватністю діяльності, що використовується для їх засвоєння. На думку Н. Ф. Тализіної, знання ніколи не можна дати в готовому вигляді, вони завжди засвоюються через включення їх в ту чи іншу діяльність.

Розумові дії класифікуються за різними основами.

Якщо розглядати дії за ступенем використання їх в різних галузях людської діяльності, то можна виділити загальні дії, що використовуються в усіх галузях знань (наприклад, аналіз, синтез, порівняння, абстрагування, узагальнення тощо), і специфічні дії, які характерні для тієї чи іншої галузі знань. Наприклад, дія підведення підпоняття и обернена дія - виведення наслідків (із факту належності, наприклад, трикутника до поняття «рівнобедрений трикутник», випливають його властивості).

Одним з реальних шляхів підвищення ефективності навчання і розвитку учнів є ретельний аналіз різних видів навчальної діяльності з метою виділення розумових і практичних дій, які входять до їхнього складу, та попереднє навчання учнів кожній з цих дій. Практика навчання свідчить, що особливістю пізнавальної діяльності учнів, які слабко встигають з математики, є несформованість загальних і специфічних розумових дій та прийомів розумової діяльності. Саме вони становлять механізм мислення і цим механізмом учні повинні оволодівати у процесі навчальної діяльності.

Діяльнісний підхід до організації навчання математики вимагає також, щоб учень під час вивчення навчального матеріалу здійснив повний цикл пізнавальних дій, а саме: сприйняв навчальний матеріал, усвідомив його, запам'ятав, потренувався в застосуванні знань на практиці, а відтак здійснив наступну діяльність - повторення, поглиблення і міцніше засвоєння цього матеріалу. Тому, розробляючи методику вивчення кожної теми програми, слід передбачити максимально сприятливі умови для організації пізнавальних дій, які всі загалом і забезпечують оволодіння учнями програмовим матеріалом.

Аналіз (від грецьк. - розкладання, розчленування, розбір) і синтез (від грецьк.- з'єднання, складання, об'єднання) - взаємообернені дії, складові процесу мислення. Цими термінами називають також і реальне розчленування або з'єднання матеріальних об’єктів, подій, явищ, сполучення речовин з метою детального їх дослідження. У методиці навчання математики аналіз використовується під час розв'язування задач і доведення теорем, коли у формулюванні задачі або теореми розчленовуються умови і вимоги, виділяються величини або фігури, про які йдеться в задачі або теоремі, елементи фігури або інші фігури, що входять до складу даної, виділяються етапи розв'язування задачі тощо. Вживаються також терміни: «аналіз уроку», коли виділяються його складові частини для з'ясування, чи досягнуто на уроці поставлених цілей; «аналіз контрольної робота», коли ставиться завдання виділити типові помилки, яких припустилися учні, і здійснити корекцію знань і умінь. У реальній розумовій діяльності аналіз і синтез нерозривно пов'язані. Особливо яскраво це спостерігається під час розв'язування задач і доведення теорем. Виділяють у зв'язку з цим важливу форму аналізу - аналіз, який здійснюється через синтез, і називають його «основним нервом будь-якої розумової діяльності». Суть його полягає в тому, що об'єкт у процесі мислення включається в дедалі нові зв'язки і в силу цього виступає щоразу за нові якості, які фіксуються в нових поняттях; з об'єкта, таким чином, ніби видобувається дедалі новий зміст, він ніби повертається кожного разу іншим боком, у ньому виявляються щоразу нові властивості. Аналіз через синтез як прийом розумової діяльності інколи називають «прийомом переосмислення елементів задачі». Цьому прийому корисно цілеспрямовано навчати учнів.

У методиці навчання математики аналізом і синтезом традиційно називають також дві протилежні щодо розвитку думки міркування, якими послуговуються під час розв'язування задач і доведення теорем.

Аналіз - міркування від того, що треба знайти або довести, до того, що дано або встановлено раніше.

Синтез - міркування, що проводиться у зворотному напрямку.

Порівняння - це розумова дія, спрямована на порівняння виділення спільного і відмінного в предметах і явищах. Порівняння починається з співвідношення предметів або явищ, тобто із синтезу, а далі відбувається аналіз об’єктів, що порівнюються, виділення в них спільного (однакового і відмінного). Виділене завдяки аналізу суттєве спільне об'єднує, тобто синтезує об'єкти. Цим самим здійснюється узагальнення. Порівняння - обов'язкова умова абстрагування і узагальнення. Тому ще К. Д. Ушинський вважав, що порівняння – основа будь-якого розуміння мислення, основна умова продуктивності мислення, а отже, и будь-якої аналітико-синтетичної діяльності.

Виділяються дві форми порівняння - зіставлення і протиставлення.

3іставлення - це розумова дія, спрямована на виділення суттєвих ознак, спільних для деяких об’єктів.

Протиставлення спрямоване на виділення відмінного, несуттєвого, від чого можна відволікатися.

Порівняння виконується лише в сукупності однорідних об’єктів, які утворюють певний клас.

Наприклад, вводячи поняття «паралельні прямі», у планіметрії розглядають можливі положення двох прямих на площині. Порівнюючи різні пари прямих, учні з'ясовують, що пари мають суттєве спільне - вони перетинаються. Для інших пар суттєвим спільним є те, що вони не перетинаються, а несуттєвим - відстань між прямими,( положення на площині :горизонтальні, розташовані вертикально, під певним кутом).

Абстрагування - розумова дія, спрямована на виділення в предметах і явищах суттєвого і відокремлення несуттєвого в них. Результатом абстрагування, як правило, є абстракції - образи, створені людським розумом. Термін «абстракція» вживається також для позначення методу наукового дослідження під час вивчення певних об’єктів, явищ, процесів, коли не враховуються їхні неістотні сторони ознаки. Це дає змогу спростити картину явища, що розглядається, і вивчати його ніби в «чистому вигляді». Наприклад, такі геометричні фігури, як точка, пряма, площина, виявились продуктом абстрагування від властивостей реально існуючих об'єктів, від яких вони походять: товщина (прямої, площини), розміри (точки). Разом з тим властивості прямих, точок (математичних абстракцій) використовують для розв'язування реальних практичних задач з реальними об'єктами.

Під узагальненням часто розуміють знаходження спільного в заданих предметах і явищах. На думку С. Л. Рубінштейна, узагальнення - практично значиме і науково виправдане — це не виділення взагалі яких-небудь спільних властивостей, у котрих предмета або явища схожі між собою, незалежно від того, що це за властивості; наукове узагальнення включає не взагалі властивості, спільні або схожі для певних явищ, а властивості, істотні для них.

Під істотними розуміють такі спільні властивості, які не можна відокремити від певного класу предмета. Вони однозначно відрізняють будь-який предмет даного класу від предмета цих класів. У логіці під істотними розуміють такі незалежні ознаки об'єкта, кожна з яких ї необхідною, а всі разом — достатніми для того, щоб він належав до даного поняття. Наприклад, сприймаючи поняття «зовнішній кут трикутника», учні повинні виділити в запропонованому наочному матеріалі (рисунках) ознаку, спільну для всіх зовнішніх кутів трикутників - бути суміжним внутрішньому куту, і неістотними, якими відрізняються зовнішні кути трикутника (величина кута, розташування трикутника). Узагальненнями послуговуються в різних видах навчально-пізнавальної діяльності під час вивчення математики: формуючи поняття, доводячи теореми, розв'язуючи задачі. Тому навчити прийомів правильного узагальнення - одне з найважливіших завдань. Необхідною умовою формування правильних узагальнень є варіювання неістотних ознак понять, властивостей, фактів за сталості істотних понять.

У практиці навчання математики використовуються в основному два прийоми узагальнення залежно від напряму ходу думки.

Перший прийом - учні зіставляють задані об'єкти (наприклад, фігури в геометрії, вирази, формули, рівняння в алгебрі), виділяють і формулюють їхні суттєві спільні ознаки, залишаючи осторонь несуттєві (абстрагуючись від них), і об'єднують об'єкти за цими ознаками (узагальнюють). При цьому учням невідомі загальні істотні ознаки, вони виявляють їх самостійно.

Другий прийом - учні знають, які суттєві спільні ознаки треба виявити, тому із даних об’єктів вони виділяють ті, які відповідають змісту поняття, що формується, зіставляючи, виділяючи в кожному об'єкті ці ознаки, і об'єднують об'єкти за суттєвими спільними ознаками.

Узагальнення під час доведення теорем полягає в тому, що доведена теорема, наприклад про властивість даного рівнобедреного трикутника, поширюється на всі рівнобедрені трикутники. Якщо учень не може довести теорему, коли трикутник розміщено на площині інакше і змінено букви для позначення, то це означає, що узагальнення не відбулося, і доведення сприйняте формально.

Узагальнення теорем відбувається і за змістом. Наприклад, теорема косинусів є узагальненням теореми Піфагора. Можливе узагальнення і задач.

Аналогія (від грецьк. - відповідність, схожість) - прийом розумової діяльності, спрямований на одержання нових знань про властивості, ознаки, відношення предметів і явищ, що вивчаються, на підставі знань про їхню часткову схожість.

Висновки за аналогією можуть виявитись або правильними, або хибними, тобто мають гіпотетичний характер. Вони потребують спеціального обґрунтування правильності чи хибності за допомогою дедуктивних міркувань (доведень). Аналогія як логічний метод наукового пізнання широко використовується в математиці та інших науках. Не менш важлива роль аналогії у навчанні математики в школі під час формування понять, навчання доведенню тверджень і розв'язування різних задач. Використання аналогії під час формування понять сприяє активізації розумової діяльності учнів, оскільки, встановивши, що нове поняття аналогічне відомому раніше, учень може припустити збіг властивостей цих понять. Порівняння аналогічних понять дає можливість встановити однакові властивості, а також виявити властивості, що не збігаються (наприклад, для понять «числова рівність» і «числова нерівність»). Це сприяє глибшому усвідомленню властивостей нових понять, міцному Їх запам'ятовуванню і запобіганню помилок.

Індукція (від лат. - наведення) – форма мислення, за допомогою якої думка наводиться на яке-небудь загальне твердження, що стосується одиничних предметів певної множини.

Дедукція (від лат. виведення) - форма мислення, за допомогою якої від відомого загального твердження переходять до менш загальних або одиничних.

У шкільному курсі математики розрізняють три види індукції (індуктивних умовиводів).

Неповна індукція - міркування від окремого до загального, тобто умовивід, який грунтується на вивченні властивостей окремих об’єктів певної сукупності і поширюється на всі и об'єкти. Наприклад, побудувавши за точками графіки кількох лінійних функцій, учні переконуються, що графіком є пряма лінія. Після цього за індукцією робиться висновок, що графіком будь-якої лінійної функції є пряма лінія. Цей умовивід правильний, хоч і має характер гіпотези, доки в аналітичній геометрії не буде доведений.

Отже, умовиводи методом неповної індукції лише правдоподібні, тому потребують доведення.

Повна індукція - умовивід, у правильності якого переконуються, розглядаючи всі окремі випадки (об'єкти, фігури, числа), що утворюють скінченну множину. Наприклад, доводячи теорему про вимірювання вписаного в коло куга, розглядають всі три окремі випадки (центр кола належить одній із сторін кута, лежить між сторонами, міститься поза кутом). Доведення властивостей показникової функції передбачає розгляд всіх можливих випадків належності показника до різних множин чисел (натуральний показник, цілий, дробовий та ірраціональний). Твердження, що грунтуються на застосуванні повної індукції, завжди правильне, тобто повна індукція є методом доведення.

Математична індукція. Один з найважливіших методів доведення математичних тверджень, який охоплює нескінчену кількість випадків (залежать від натурального n), грунтується на принципі математичної індукції.